如上所述，偏差計算是逐點比較法關鍵的一步。下面以第Ⅰ象限直線為例導出其偏差計算公式。

圖2-1  直線插補過程

如圖2—1所示，假定直線 的起點為坐標原點，終點A的坐標為 為加工點，若P點正好處在直線 上，那么下式成立：

  若任意點 在直線 的上方（嚴格地說，在直線 與y軸所成夾角區域內），那么有下述關系成立：

亦即:                         

由此可以取偏差判別函數 為：

 

由 的數值（稱為“偏差”）就可以判別出P點與直線的相對位置。即：

當 =0時，點 正好落在直線上；

當 >0時，點 落在直線的上方；

當 <0時，點 落在直線的下方。

從圖2—1看出，對于起點在原點，終點為A（ ）的第Ⅰ象限直線OA來說，當點P在直線上方（即 >0）時，應該向+x方向發一個脈沖，使機床刀具向+x方向前進一步，以接近該直線；當點P在直線下方（即 <0）時，應該向+y方向發一個脈沖，使機床刀具向+y方向前進一步，趨向該直線；當點P正好在直線上（即 =0）時，既可向+x方向發一脈沖，也可向+y方向發一脈沖。因此通常將 >0和 =0歸于一類，即 ≥0。這樣從坐標原點開始，走一步，算一次，判別 ，再趨向直線，逐點接近直線 ，步步前進。當兩個方向所走的步數和終點坐標A（ ）值相等時，發出終點到達信號，停止插補。

對于圖2—1的加工直線OA，我們運用上述法則，根據偏差判別函數值，就可以獲得如圖中折線段那樣的近似直線。

但是按照上述法則進行 的運算時，要作乘法和減法運算，這對于計算過程以及具體電路實現起來都不很方便。對于計算機而言，這樣會影響速度；對于專用控制機而言，會增加硬件設備。因此應簡化運算，通常采用的是迭代法，或稱遞推法，即每走一步后新加工點的加工偏差值用前一點的加工偏差遞推出來。下面推導該遞推式：

已經知道，加工點的坐標為（ ）時的偏差為：

若 ≥0時，則向x軸發出一進給脈沖，刀具從這點即（ ）點向x方向前進一步，到達新加工點P（ ）， ，因此新加工點P（ ）的偏差值為

即:                                                                                                (2-1)

如果某一時刻，加工點P（ ）的 <0，則向y軸發出一個進給脈沖，刀具從這一點向y方向前進一步，新加工點P（ ）的偏差值為

  即:  

                                                      (2-2)

 

  根據式（2—1）及式（2—2）可以看出，新加工點的偏差完全可以用前一加工點的偏差遞推出來。

綜上所述，逐點比較法的直線插補過程為每走一步要進行以下4個節拍（步驟），即判別、進給、運算、比較。

（1） 判別。根據偏差值確定刀具位置是在直線的上方（或線上），還是在直線的下方。

（2） 進給。根據判別的結果，決定控制哪個坐標（x或y）移動一步。

（3） 運算。計算出刀具移動后的新偏差，提供給下一步作判別依據。根據式（2—1）及式（2—2）來計算新加工點的偏差，使運算大大簡化。但是每一新加工點的偏差是由前一點偏差 推算出來的，并且一直遞推下去，這樣就要知道開始加工時那一點的偏差是多少。當開始加工時，我們是以人工方式將刀具移到加工起點，即所謂“對刀”，這一點當然沒有偏差，所以開始加工點的 =0。

（4） 比較。在計算偏差的同時，還要進行一次終點比較，以確定是否到達了終點。若已經到達，就不再進行運算，并發出停機或轉換新程序段的信號。

下面以實例來驗證圖2—1。設欲加工直線OA，其終點坐標為 =5*, =3*，則終點判別值可取為 （終點判別方法詳見下述）。開始時偏差 ，加工過程的運算節拍如表2—1所示。

     

  圖2-2  逐點比較法直線插補過程

                       表2-1   逐點比較法直線插補運算舉例